每日一题[2963]复平面曲线

设 $z$ 为复数，若方程 $\left|z^2\right|-\left|z^2-9\right|=7$ 表示一条圆锥曲线，则此曲线的离心率 $e=$_______．

答案    $\dfrac{3\sqrt2}4$．

解析    设 $z=x+y{\rm i}$，则题中方程即

$$|z|^2-|z-3|\cdot |z+3|=7,$$ 也即 $$\left(|z+3|-|z-3|\right)^2=32,$$ 因此复平面内 $z$ 表示的点到 $(-3,0)$ 和 $(3,0)$ 的距离之差的绝对值为 $4\sqrt 2$，曲线为双曲线线，离心率为 $\dfrac{3}{2\sqrt 2}=\dfrac{3\sqrt 2}4$．