每日一题[2922]必要条件探路

已知函数 $f(x)=e^{x-a}-a x$（$a \in \mathbb R$）．

1、若函数 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围．

2、若对任意的 $x \in[0,+\infty)$，均有 $f(x+1)+\dfrac{a}{2}(x+2) \geqslant \sqrt{x^2+a x+1}$，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、方程 $f(x)=0$ 即 $$\dfrac{x}{{\rm e}^{x}}=\dfrac{1}{a{\rm e}^a},$$ 设方程左侧为函数 $g(x)$，则其导函数 $$g'(x)={\rm e}^{-x}(1-x),$$ 有 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&-\infty&(-\infty,1)&1&(1,+\infty)&+\infty\\ \hline g(x)&-\infty&\nearrow&\dfrac{1}{\rm e}&\searrow&0\\ \hline\end{array}$$ 因此若函数 $f(x)$ 有两个零点，则 $\dfrac{1}{a{\rm e}^a}$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$，进而实数 $a$ 的取值范围是 $\{a\mid a{\rm e}^a>{\rm e}\}=\{a\mid a>1\}=(1,+\infty)$．

2、题意即 $$\forall x\geqslant 0,~{\rm e}^{x+1-a}-\dfrac a2x-\sqrt{x^2+ax+1}\geqslant 0,$$ 设不等式左侧为函数 $h(x)$，则有 $h(0)\geqslant 0$ 即 $a\leqslant 1$．接下来证明 $a\leqslant 1$ 符合题意，只需要证明 $$\forall x\geqslant 0,~{\rm e}^x-\dfrac 12x-\sqrt{x^2+x+1}\geqslant 0,$$ 只需要证明 $$\forall x\geqslant 0,\left(1+x+\dfrac 12x^2\right)-\dfrac 12x-\sqrt{x^2+x+1}\geqslant 0,$$ 也即 $$\forall x\geqslant 0,~\left(1+\dfrac 12x+\dfrac 12x^2\right)^2>x^2+x+1,$$ 也即 $$\forall x\geqslant 0,\dfrac14x^2(x+1)^2\geqslant 0,$$ 命题得证．因此实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,1]$．