每日一题[2914]对称平移函数

设单调递增函数 $f(x)$ 满足：$\forall a\in\mathbb R,~a\in\{f(a+1)\}\cup \{f(f(a+2))\}$，则（       ）

A．$2f(1)\leqslant 1$

B．$2f(1)\geqslant -1$

C．$f(0)+f(1)\leqslant 0$

D．$f(0)+f(1)\geqslant -1$

答案    C．

解析    根据题意，有

$$0\in\{f(1),f(f(2))\},\quad -1\in \{f(0),f(f(1))\}.$$

情形一     $f(1)=0$．此时 $f(0)<f(1)$，$f(0)+f(1)<0$．

情形二     $f(f(2))=0$．此时设 $f(2)=m$，则 $f(m)=0$． 当 $f(0)=-1$ 时，若 $f(1)>1$，则

$$f(0)=-1<0=f(m)<1<f(1)\implies 0<m<1,$$ 而 $m=f(2)>f(1)>1$，矛盾，因此 $f(1)\leqslant 1$，有 $f(0)+f(1)\leqslant 0$． 当 $f(f(1))=-1$ 时，设 $f(1)=n$，$f(n)=-1$． 若 $n \leqslant 0$，则 $f(0)+f(1)<2f(1)=2n\leqslant 0$； 若 $n>0$，则 $f(0)<f(n)=-1$，而 $$f(1)=n>0>-1=f(n)\implies n<1,$$ 从而 $f(0)+f(1)\leqslant 0$． 综上所述，$f(0)+f(1)\leqslant 0$，选项 $\boxed{C}$ 正确． 接下来构造例子说明其他选项不正确． 设法构造函数 $f(x)$ 满足 $f(x+2)=f^{-1}(x)$（$x\in\mathbb R$），设 $f(1)=t$（$t\in (-1,1)$），以 $A(1,t)$ 为顶点作边长为 $2$ 且四边均与坐标轴平行的正方形 $ABCD$，设直线 $y=x$ 与正方形交于点 $P(a,a),Q(-1,-1)$，过 $P,Q$ 分别作与坐标轴平行的直线交于点 $R(a,-1)$，作递增曲线 $\overline{RA}$，将该曲线左移 $2$ 个单位，再关于 $y=x$ 对称得到曲线 $\overline{CR}$，将曲线 $\overline{CA}$ 不断按向量 $(2,2)$（以及 $(-2,-2)$）平移得到函数 $f(x)$ 的图象，如图．

于是选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ 错误，对于选项 $\boxed{D}$，取 $a=\dfrac 13$，则 $R\left(\dfrac 13,-1\right)$，于是 $f(0)$ 可以在 $\left(-\dfrac 53,-1\right)$ 内取值，从而 $f(0)+f(1)$ 可以在 $\left(-\dfrac 43,-\dfrac 23\right)$ 内取值，选项 $\boxed{D}$ 错误．