求方程 $x^3-y^3=91$ 的全部整数解．
答案 $(6,5)$，$(-5,-6)$，$(4,-3)$，$(3,-4)$．
解析 写出立方数表\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline n&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline n^3&1&8&27&64&125&216&343&512\\ \hline\end{array}\] [[case]]情形一[[/case]] $x,y>0$．此时有观察可得当 $x\leqslant 6$ 时，只有解 $(x,y)=(6,5)$，而当 $x\geqslant 7$ 时，有\[x^3-y^3\geqslant x^3-(x-1)^3\geqslant 127>91,\]因此该情形只有解 $(x,y)=(6,5)$． [[case]]情形二[[/case]] $x,y <0 $．此时即 $(-y)^3-(-x)^3=91 $，根据情形一的结论，解为 $(x,y)=(-5,-6)$． [[case]]情形三[[/case]] $ x>0>y $．此时即 $ x^3+(-y)^3=91 $，于是 $ 1\leqslant x,-y\leqslant 6 $，只有解 $(x,-y)=(4,3),(3,4)$，对应 $(x,y)=(4,-3),(3,-4)$． 综上所述，所有整数解为 $(6,5)$，$(-5,-6)$，$(4,-3)$，$(3,-4)$．