每日一题[2891]折线逼近

已知函数 $f(x)=(x+b)\left(\mathrm{e}^x-a\right)$（$b>0$）在 $(-1, f(-1))$ 处的切线方程为 $(\mathrm{e}-1) x+\mathrm{e} y+\mathrm{e}-1=0$．

1、求 $a, b$．

2、若方程 $f(x)=m$ 有两个实数根 $x_1 , x_2$，且 $x_1<x_2$，证明：$x_2-x_1 \leqslant 1+\dfrac{m(1-2 \mathrm{e})}{1-\mathrm{e}}$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)={\rm e}^{x}(x+b+1)-a,$$ 所以由 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处的切线方程为 $(\mathrm{e}-1) x+\mathrm{e} y+\mathrm{e}-1=0$ 可得 $$\begin{cases} f(-1)=0,\\ f'(-1)=-1+\dfrac{1}{\rm e},\end{cases}\iff \begin{cases} (-1+b)\left(\dfrac{1}{\rm e}-a\right)=0,\\ \dfrac b{\rm e}-a=-1+\dfrac{1}{\rm e},\end{cases}\iff \begin{cases} a=1,\\ b=1.\end{cases}$$

2、作函数 $f(x)$ 在 $x=-1$ 和 $x=0$ 处的切线 $l_1:g_1(x)=\dfrac{1-{\rm e}}{\rm e}(x+1)$ 和 $l_2:g_2(x)=x$，如图．

接下来证明函数 $f(x)$ 的图象在直线 $l_1,l_2$ 的上方（包括直线上）．当 $x<-1$ 时，有 $${\rm e}^{x}-1<\dfrac{1-{\rm e}}{\rm e}\implies (x+1)\left({\rm e}^x-1\right)>\dfrac{1-{\rm e}}{\rm e}(x+1),$$ 又 $\dfrac{1-{\rm e}}{\rm e}(x+1)>0>x$，命题成立． 当 $x\geqslant -1$ 时，函数 $f(x)$ 的二阶导函数 $$f''(x)={\rm e}^x(x+2)>0,$$ 因此函数 $f(x)$ 是下凸函数，图象在切线上方．设直线 $y=m$ 分别与直线 $l_1,l_2$ 的交点横坐标为 $x_3,x_4$，则 $$g_1(x_1)<f(x_1)=m=g_1(x_3),$$ 从而 $x_3<x_1$．类似的，有 $$g_2(x_2)<f(x_2)=m=g_2(x_4),$$ 从而 $x_2<x_4$．因此 $$x_2-x_1<x_4-x_3=m-\left(\dfrac{{\rm e}m}{1-{\rm e}}-1\right)=1+\dfrac{m(1-2{\rm e})}{1-{\rm e}},$$ 命题得证．