每日一题[2861]平均差值

已知 $a , b$ 是不相等的两个正数，在 $a , b$ 之间插入两组实数：$x_1, x_2, \cdots, x_n$ 和 $y_1, y_2, \cdots, y_n$，其中 $n \in \mathbb{N}^{\ast}$，且 $n \geqslant 2$，使得 $a, x_1, x_2, \cdots, x_n, b$ 成等差数列，$a, y_1, y_2, \cdots, y_n, b$ 成等比数列，下列命题正确的有（       ）

A．$x_1+x_2+\cdots x_n=\dfrac{n(a+b)}{2}$

B．$\dfrac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots x_n\right)>\sqrt{a b}+\left(\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2}\right)^2$

C．$\sqrt[n]{y_1 y_2 \cdots y_n}=\sqrt{a b}$

D．$\sqrt[n]{y_1 y_2 \cdots y_n}<\dfrac{a+b}{2}$

答案    ABD．

解析  根据题意，倒序相加以及倒序相乘，可得 $$2(x_1+x_2+\cdots+x_n)=n(a+b),\quad (y_1y_2\cdots y_n)^2=(ab)^n,$$ 因此选项 $\boxed{A}$ 正确，而考虑到 $n$ 为奇数时，$y_1y_2\cdots y_n$ 可以为负数，因此选项 $\boxed{C}$ 错误．

根据均值不等式，可得 $$\sqrt[n]{y_1y_2\cdots y_n}\leqslant \sqrt[n]{|y_1y_2\cdots y_n|}=\sqrt{ab}< \dfrac{a+b}2,$$ 因此选项 $\boxed{D}$ 正确．

对于选项 $\boxed{B}$，有 $$LHS-\sqrt{ab}=\dfrac{a+b}2-\sqrt{ab}=2\left(\dfrac{\sqrt a-\sqrt b}2\right)^2>\left(\dfrac{\sqrt a-\sqrt b}2\right)^2,$$ 选项 $\boxed{B}$ 正确．

综上所述，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$ 正确．