每日一题[2851]耦合集

设集合 $S \subseteq \mathbb N^{\ast}$，且 $S$ 中至少有两个元素，若集合 $T$ 满足以下三个条件：

① $T \subseteq \mathbb N^{\ast}$，且 $T$ 中至少有两个元素；

② 对于任意 $x, y \in S$，当 $y \neq x$，都有 $x y \in T$；

③ 对于任意 $x, y \in T$，若 $y>x$，则 $\dfrac{y}{x} \in S$；

则称集合 $T$ 为集合 $S$ 的“耦合集”．

1、若集合 $S_1=\{1,2,4\}$，求集合 $S_1$ 的耦合集 $T_1$．

2、若集合 $S_2$ 存在耦合集 $T_2$，集合 $S_2=\left\{p_1, p_2, p_3, p_4\right\}$，且 $p_4>p_3>p_2>p_1$，求证：对于任意 $1 \leqslant i<j \leqslant 4$，有 $\dfrac{p_j}{p_i} \in S_2$．

3、设集合 $S=\left\{p_1, p_2, p_3, p_4\right\}$，且 $p_4>p_3>p_2>p_1 \geqslant 2$，求集合 $S$ 的耦合集 $T$ 中的元素的个数．

解析

1、根据题意，有 $1\cdot 2,2\cdot 4,1\cdot 4\in T_1$，于是 $T_1$ 中包含 $2,4,8$；此时 $\dfrac 42,\dfrac 82,\dfrac 84\in S_1$，因此 $T_1=\{2,4,8\}$ 是集合 $S_1$ 的耦合集． 接下来证明 $T_1$ 中不可能包含其他元素，显然 $T_1$ 中不可能包含 $1$，否则 $\dfrac 81=8\notin S_1$，矛盾．设 $x\in T_1$ 且 $x\ne 1,2,4,8$，则 $x\geqslant 3$， $$\dfrac x2\ne 1,2,4\implies \dfrac x2\notin S_1,$$ 因此集合 $S_1$ 的耦合集 $T_1=\{2,4,8\}$．

2、若 $S$ 中有 $4$ 个元素，设为 $a,b,c,d$ 且 $a<b<c<d$，则 $$ab,ac,ad,bc,bd,cd\in T,$$ 进而 $$\dfrac ba,\dfrac ca,\dfrac da,\dfrac cb,\dfrac db,\dfrac dc,\dfrac{cd}{ab},\dfrac{bd}{ac},\max\left\{\dfrac{ad}{bc},\dfrac{bc}{ad}\right\}\in S,$$ 由于其中 $$\dfrac ba<\dfrac ca<\dfrac da<\dfrac{cd}{ab},$$ 它们互不相同，于是必然有 $$\dfrac ba=a,\quad \dfrac ca=b,\quad \dfrac da=c,\quad \dfrac{cd}{ab}=d,$$ 于是有 $$S=\{a,a^2,a^3,a^4\},\quad T=\{a^3,a^4,a^5,a^6,a^7\},$$ 这样就证明了命题．

3、根据第 $(2)$ 小题的结果，$T$ 中的元素个数为 $5$．