每日一题[2850]波澜起伏

已知函数 $f\left(x\right) = x - a{{\mathrm e}^x}$，$a \in \mathbb R$．

1、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $\left(0,f\left(0\right)\right)$ 处的切线的方程．

2、若曲线 $y = f\left(x\right)$ 与 $x$ 轴有且只有一个交点，求 $a$ 的取值范围．

3、设函数 $g\left(x\right) = {x^3}$，请写出曲线 $y = f\left(x\right)$ 与 $y = g\left(x\right)$ 最多有几个交点．

解析

1、当 $a = 1$ 时，有

$$f\left(x\right) = x - {{\mathrm e}^x},\quad f'\left(x\right) = 1 - {{\mathrm e}^x},$$ 当 $x = 0$ 时，$y = - 1$，又 $f'\left(0\right) = 0$，所以曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $\left(0,f\left(0\right)\right)$ 处的切线方程为 $y = - 1.$

2、根据题意，有

$$f(x)=0\iff a=x{\rm e}^{-x},$$ 设右侧函数为 $h(x)$，则其导函数 $$h'(x)=(1-x){\rm e}^{-x},$$ 于是 $$\begin{array}{c|ccccc}\hline x&-\infty&(-\infty,1)&1&(1,+\infty)&+\infty\\ \hline h(x)&-\infty&\nearrow&\dfrac{1}{\rm e}&\searrow&0\\ \hline \end{array}$$

情形一    $a>\dfrac{1}{\rm e}$．此时方程没有实数解．

情形二     $a=\dfrac{1}{\rm e}$．此时方程有唯一实数解 $x=1$．

情形三     $0<a<\dfrac{1}{\rm e}$．由于 $h(-1)=-{\rm e}<a$，且

$$h(a)=\dfrac{a}{{\rm e}^a}<\dfrac a{1+a}<a,$$ 于是此时方程有 $2$ 个实数解．

情形四     $a\leqslant 0$．此时方程在 $\left[1,+\infty\right)$ 上没有实数解，有 $h(a)<a$，于是方程在 $(-\infty,1)$ 上有唯一实数解．

综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,0\right]\cup\left\{\dfrac1{\rm e}\right\}$．

3、根据题意，有

$$f(x)=g(x)\iff a=\left(x-x^3\right){\rm e}^{-x},$$ 设右侧函数为 $\varphi(x)$，则其导函数 $$\varphi'(x)=\left(x^3-3x^2-x+1\right){\rm e}^{-x},$$ 注意到函数 $\varphi(x)$ 有三个零点 $x=\pm 1,0$，讨论如下． $$\begin{array}{c|ccccccc}\hline x&-\infty&(-\infty,-1)&-1&(-1,0)&0&(0,1)&1&(1,+\infty)&+\infty\\ \hline \varphi'(x)&&-&0&+&1&+-&-2&-+&\\ \hline \varphi(x)&+\infty&\searrow&0&\searrow\nearrow&0&\nearrow\searrow&0&\searrow\nearrow&0\\ \hline\end{array}$$

因此 $\varphi(x)$ 有三个极值点 $x_1,x_2,x_3$（不妨设 $x_1<x_2<x_3$），则 $x_1\in\left(-1,-\dfrac 12\right)$，$x_2\in\left(0,\dfrac 12\right)$，$x_3\in\left(3,\dfrac 72\right)$，进而有

$$\varphi(x_3)<-1<\varphi(x_1)<0<\varphi(x_2),$$ 因此曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 的交点个数为 $$\begin{cases} 0,&(-\infty,\varphi(x_3)),\\ 1,&\left\{\varphi(x_3)\right\}\cup(\varphi(x_2),+\infty),\\ 2,&(\varphi(x_3),\varphi(x_1))\cup\left\{\varphi(x_2)\right\},\\ 3,&\left\{\varphi(x_1)\right\}\cup[0,\varphi(x_2)),\\ 4,& \left(\varphi(x_1),0\right).\end{cases}$$

备注    其中 $3$ 个极值点和极值为

$$\begin{array}{c|ccc}\hline x&-0.6751\cdots&0.4608\cdots&3.2143\cdots \\ \hline \varphi(x)&-0.7216\cdots&0.2289\cdots&-1.2053\cdots\\ \hline\end{array}$$