对正整数 n，记 In={1,2,⋯,n}，Pn={m√k∣m∈In,k∈In}．
1、求集合 P7 中元素的个数．
2、若 Pn 的子集 A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称 A 为"稀疏集"．求 n 的最大值，使 Pn 能分成两个不相交的稀疏集的并．
解析
1、本题考查对新定义的理解，关键在于考虑清楚可能重复的计算结果有几种情况．
当 k=4 时，{m√k∣m∈I7} 中有 3 个数与 I7 中的 3 个数重复，因此 P7 中元素的个数为 7×7−3=46．
2、本题考查推理与论证，通过试探得到可能的答案再进行论证是解决问题的关键．
注意到数字 1,3,6,10,15 无法分成两个不相交的“稀疏集”，故可尝试证明答案为 14．
n 不超过 14． 即证明：当 n⩾15 时，Pn 不能分成两个不相等的稀疏集的并．若不然，设 A,B 为不相交的稀疏集，使 A∪B=Pn⊇In．不妨设 1∈A，则因为 1+3=22，故 3∉A，即 3∈B． 同理，6∈A,10∈B，又推得 15∈A，但 1+15=42，这与 A 为稀疏集矛盾．
n 可以取 14． 即证明 P14 符合要求． 当 k=1 时，{m√k∣m∈I14}=I14 可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A1={1,2,4,6,9,11,13},B1={3,5,7,8,10,12,14},
则 A1,B1 为稀疏集，且A1∪B1=I14.
当 k=4 时，集合 {m√k∣m∈I14} 中除整数外剩下的数组成集合{12,32,52,⋯,132},
可求解为下面两稀疏集的并：A2={12,52,92,112},B2={32,72,132}.
当 k=9 时，集合 {m√k∣m∈I14} 中除正整数外剩下的数组成集合{13,23,43,53,⋯,133,143},
可分解为下面两稀疏集的并：A3={13,43,53,103,133},B3={23,73,83,113,143}.
最后，集合 C={m√k∣m∈I14,k∈I14, 且 k≠1,4,9} 中的数的分母均为无理数，它与 P14 中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A=A1∪A2∪A3∪C,B=B1∪B2∪B3,
则 A 和 B 是不相交的稀疏集，且 A∪B=P14． 综上可知，所求 n 的最大值为 14．