每日一题[2824]且战且退

如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 中，$E$ 为 $BC$ 的中点，点 $P$ 在线段 ${D_1}E$ 上，则点 $P$ 到直线 $C{C_1}$ 的距离的最小值为_______．

答案    $\dfrac{2\sqrt 5}5$．

解析    本题考查空间几何量的求解，利用投影把所求距离转化为两个正交方向上的线段长度是解决问题的关键．

如图，取 $B_1C_1$ 的中点 ${E_1}$，连接 $EE_1,{D_1}{E_1}$，在平面 ${D_1}E{E_1}$ 内过点 $P$ 点作 $PH\parallel E{E_1}$ 交 ${D_1}{E_1}$ 于点 $H$，连接 ${C_1}H$．

在正方体中，$CC_1\perp \text{平面}~A_1B_1C_1D_1$，所以 $CC_1\perp C_1H$，则 ${C_1}H$ 即为点 $P$ 到直线 $C{C_1}$ 的距离． 当点 $P$ 在线段 ${D_1}E$ 上运动时，点 $H$ 在线段 $D_1E_1$ 上运动，所以点 $P$ 到直线 $C{C_1}$ 的距离的最小值为点 ${C_1}$ 到线段 ${D_1}{E_1}$ 的距离．即为 $\triangle {C_1}{D_1}{E_1}$ 的边 ${D_1}{E_1}$ 上的高 $h$．因为 ${C_1}{D_1} = 2$，${C_1}{E_1} = 1$，所以 ${D_1}{E_1} = \sqrt 5$，从而 $h = \dfrac{2}{\sqrt 5 } = \dfrac{2\sqrt 5 }{5}$．