每日一题[2823]代数处理

设关于 $x,y$ 的不等式组 ${\begin{cases} 2x - y + 1 > 0, \\ x + m < 0, \\ y - m > 0 \\ \end{cases}}$ 表示的平面区域内存在点 $P\left( {{x_0},{y_0}} \right)$，满足 ${x_0} - 2{y_0} = 2$，则 $m$ 的取值范围是（       ）

A．$\left( { - \infty ,\dfrac{4}{3}} \right)$

B．$\left( { - \infty ,\dfrac{1}{3}} \right)$

C．$\left( { - \infty , - \dfrac{2}{3}} \right)$

D．$\left( { - \infty , - \dfrac{5}{3}} \right)$

答案    C．

解析    本题考查不等式（组），将约束条件转化为不等式组有解并消元处理即可．

题意即已知

$$\begin{cases} 2x-y+1>0,\\ x-2y=2,\\ x+m<0,\\ y-m>0\end{cases}$$ 有解，求 $m$ 的取值范围．消元，可得 $$\begin{cases} x=2y+2,\\ 3y+5>0,\\ 2y+2+m<0,\\ y-m>0,\end{cases}\iff \begin{cases} x=2y+2,\\ y>-\dfrac 53,\\ y<-1-\dfrac 12m,\\ y>m,\end{cases}$$ 该不等式组有解，即 $$\begin{cases} -1-\dfrac 12m>m,\\ -1-\dfrac 12m>-\dfrac 53,\end{cases}\iff m<-\dfrac 23.$$