每日一题[2803]一刀两段

已知 ${F_1},{F_2}$ 分别是椭圆 $E:\dfrac{x^2}{5} + {y^2} = 1$ 的左、右焦点，${F_1},{F_2}$ 关于直线 $x + y - 2 = 0$ 的对称点是圆 $C$ 的一条直径的两个端点．

1、求圆 $C$ 的方程．

2、设过点 ${F_2}$ 的直线 $l$ 被椭圆 $E$ 和圆 $C$ 所截得的弦长分别为 $a,b$．当 $ab$ 最大时，求直线 $l$ 的方程．

解析

1、本题考查点关于直线对称以及圆的方程，抓住圆心和半径求解即可． 根据题意，圆 $C$ 的圆心 $C$ 是原点 $O$ 关于直线 $x+y-2=0$ 的对称点 $(2,2)$，半径为 $\dfrac 12|F_1F_2|=2$，因此所求圆 $C$ 的方程为 $(x-2)^2+(y-2)^2=4$．

2、本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，用直线的倾斜角作参数表达两个弦长是解决问题的关键． 设直线 $l$ 的倾斜角为 $\theta$（$\theta\in[0,\pi)$），被椭圆 $E$ 和圆 $C$ 所截得的弦分别为 $MN$ 和 $F_2P$，则根据椭圆的焦点弦长公式，有

$$|MN|=\dfrac{2\sqrt 5}{1+4\sin^2\theta},$$ 根据圆的弦长公式，有 $$|F_2P|=4\sin\theta,$$ 因此 $$ab=|MN|\cdot |F_2P|=\dfrac{8\sqrt 5}{4\sin\theta+\dfrac{1}{\sin\theta}}\leqslant 2\sqrt 5,$$ 等号当且仅当 $\sin\theta=\dfrac 12$ 时取得，此时直线 $l$ 的方程为 $x\pm \sqrt 3y-2=0$．