每日一题[2802]特征数列

对于 $E = \left\{ {{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_{100}}} \right\}$ 的子集 $X = \left\{ {{a_{i_1}},{a_{i_2}}, \cdots ,{a_{i_k}}} \right\}$，定义 $X$ 的“特征数列”为 ${x_1},{x_2} ,\cdots, {x_{100}}$，其中 ${x_{i_1}} = {x_{i_2}} = \cdot \cdot \cdot = {x_{i_k}} = 1$，其余项均为 $0$，例如：子集 $\left\{ {{a_2},{a_3}} \right\}$ 的“特征数列”为 $0,1,1,0,0,\cdots,0$．

$(1)$ 子集 $\left\{ {{a_1},{a_3},{a_5}} \right\}$ 的“特征数列”的前 $3$ 项和等于_______．

$(2)$ 若 $E$ 的子集 $P$ 的“特征数列”${p_1},{p_2},\cdots,{p_{100}}$ 满足 ${p_1} = 1$，${p_i} + {p_{i + 1}} = 1$，$1 \leqslant i \leqslant 99$，$E$ 的子集 $Q$ 的"特征数列" ${q_1},{q_2},\cdots,{q_{100}}$ 满足 ${q_1} = 1$，${q_j} + {q_{j + 1}} + {q_{j + 2}} = 1$，$1 \leqslant j \leqslant 98$，则 $P \cap Q$ 的元素个数为_______．

答案    $2$；$17$．

解析    本题考查对新定义的理解和递推数列，根据递推公式寻找周期性然后求交集是解决问题的关键．

$(1)$ 子集 $\{a_1,a_3,a_5\}$ 对应的特征数列为

$$x_n=\begin{cases} 1,&n=1,3,5,\\ 0,&etc.\end{cases}$$ 于是其前三项和 $x_1+x_2+x_3=1+0+1=2$．

$(2)$ $P\cap Q$ 的元素个数即在数列 $\{p_n\}_{n=1}^{100}$ 和 $\{q_n\}_{n=1}^{100}$ 使得

$$p_k=q_k=1$$ 的 $k$ 的个数． 根据题意，有 $$p_{i+1}=1-p_i \implies p_n:1,0,\underbrace{1,0},\cdots,$$ 而由 $q_1+q_2+q_3=1$，$q_1=1$，$q_2,q_2\in\{0,1\}$ 可得 $$q_2=q_3=0,$$ 于是 $$q_{j+2}=1-q_{j+1}-q_j\implies q_n:1,0,0,\underbrace{1,0,0},\cdots,$$ 于是 $p_k=q_k=1$ 即 $2\mid k-1$ 且 $3\mid k-1$，也即 $6\mid k-1$，因此满足要求的 $k$ 共 $17$ 个，为 $1,7,\cdots,97$．