每日一题[2768]三角平方差

如图，在等腰直角 $\triangle OPQ$ 中，$\angle POQ = 90^\circ$，$OP = 2\sqrt 2$，点 $M$ 在线段 $PQ$ 上．

1、若 $OM = \sqrt 5$，求 $PM$ 的长．

2、若点 $N$ 在线段 $MQ$ 上，且 $\angle MON = 30^\circ$，问：当 $\angle POM$ 取何值时，$\triangle OMN$ 的面积最小？并求出面积的最小值．

解析

1、在 $\triangle OMP$ 中应用余弦定理，有

$$OM^2 = OP^2 + MP^2 - 2OP \cdot MP \cdot \cos 45^\circ \iff MP^2 - 4\cdot MP + 3 = 0,$$ 解得 $MP = 1$ 或 $MP = 3$．

2、由于 $\angle POM+\angle QON=60^\circ$，设 $\angle POM=30^\circ+x$，$\angle QON=30^\circ-x$，则在 $\triangle POM$ 和 $\triangle QON$ 中分别应用正弦定理，有

$$OM=\dfrac{\sin 45^\circ}{\sin (105^\circ-x)}\cdot OP,\quad ON=\dfrac{\sin 45^\circ}{\sin (105^\circ+x)}\cdot OP,$$ 因此 $\triangle OMN$ 的面积 $$\begin{split} [\triangle OMN]&=\dfrac 12\cdot \sin30^\circ\cdot OM\cdot ON\\ &=\dfrac{1}{\sin (105^\circ-x)\sin (105^\circ+x)}\\ &=\dfrac1{\sin^2105^\circ-\sin^2x}\\ &\geqslant \dfrac{1}{\sin^2105^\circ}\\ &=\dfrac{1}{\sin^2(45^\circ+60^\circ)}\\ &=8-4\sqrt 3,\end{split}$$ 等号当 $x=0^\circ$ 时取得，因此 $\angle POM = 30^\circ$ 时，$\triangle OMN$ 的面积最小，面积最小值为 $8 - 4\sqrt 3$．