每日一题[2763]平均性质

如图，在正方形 $OABC$ 中，$O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $\left( {10,0} \right)$，点 $C$ 的坐标为 $\left( {0,10} \right)$，分别将线段 $OA$ 和 $AB$ 十等分，分点分别记为 ${A_1},{A_2}, \cdots , {A_9}$ 和 ${B_1},{B_2},\cdots ,{B_9}$，连接 $O{B_i}$，过 ${A_i}$ 作 $x$ 轴的垂线与 $O{B_i}$ 交于点 ${P_i}$（$i \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$，$1 \leqslant i \leqslant 9$）．

1、求证：点 ${P_i}$（$i \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$，$1 \leqslant i \leqslant 9$）都在同一条抛物线上，并求该抛物线 $E$ 的方程．

2、过点 $C$ 作直线 $l$ 与抛物线 $E$ 交于不同的两点 $M,N$，若 $\triangle OCM$ 与 $\triangle OCN$ 的面积之比为 $4:1$，求直线 $l$ 的方程．

解析

1、本题考查轨迹方程的求法，寻找横纵坐标的关系是求解轨迹问题的关键．过 ${A_i}$（$i \in {{\mathbb{N}}^ * }$，$1 \leqslant i \leqslant 9$）且与 $x$ 轴垂直的直线方程为 $x = i$，${B_i}$ 的坐标为 $\left( {10,i} \right)$，所以直线 $O{B_i}$ 的方程为 $y = \dfrac{i}{10}x$，于是 ${P_i}$ 的坐标为 $\left( {i,\dfrac{i^2}{10}} \right)$，进而点 ${P_i}$（$i \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$，$1 \leqslant i \leqslant 9$）都在同一条抛物线上，且抛物线 $E$ 的方程为 ${x^2} = 10y$．

2、设 $M(10m,10m^2)$，$N(10n,10n^2)$，则有

$$\dfrac{[\triangle OCM]}{[\triangle OCN]}=4\iff \dfrac{|10m|}{|10n|}=4\iff |m|=4|n|,$$ 由直线 $MN$ 过点 $C$，根据抛物线的平均性质，$m,n$ 异号，有 $$10m^2\cdot 10n^2=10^2\iff mn=-1,$$ 解得 $(m,n)=\left(2,\pm\dfrac 12\right),\left(-2,\pm\dfrac 12\right)$，因此直线 $l$ 的方程为 $$y=(m+n)x-10mn,$$ 即 $y=\pm\dfrac 32x+10$．