每日一题[2759]形状变化

若 $\triangle A B C$ 三边长为等差数列，则 $\cos A+\cos B+\cos C$ 的取值范围是（       ）

A．$\left(1,\dfrac 32\right]$

B．$\left(0,\dfrac 32\right]$

C．$(0,1)$

D．前三个答案都不对

答案    A．

解析    设 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且 $(a,b,c)=(1-x,1,1+x)$，其中 $x\geqslant 0$，则根据三角形三边关系，有

$$(1-x)+1>1+x\iff 0\leqslant x<\dfrac 12.$$ 根据半角公式，有 $$\begin{split} \cos A+\cos B+\cos C&=4\sin\dfrac A2\sin\dfrac B2\sin \dfrac C2+1\\ &=\dfrac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{2abc}+1\\ &=\dfrac{(1-2x)(1+2x)}{2(1-x)(1+x)}+1\\ &=\dfrac{1-4x^2}{2-2x^2}+1,\end{split}$$ 因此所求取值范围是 $\left(1,\dfrac 32\right]$．