每日一题[2755]截断近似

嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 $\left\{b_{n}\right\}$： $$b_{1}=1+\frac{1}{\alpha_{1}}, \quad b_{2}=1+\frac{1}{\alpha_{1}+\frac{1}{\alpha_{2}}}, \quad b_{3}=1+\frac{1}{\alpha_{1}+\frac{1}{\alpha_{2}+\frac{1}{\alpha_{3}}}}, \cdots,$$ 依此类推，其中 $\alpha_{k} \in \mathbb{N}^{*}$（$k=1,2, \cdots$），则（       ）

A．$b_{1}<b_{5}$

B．$b_{3}<b_{8}$

C．$b_{6}<b_{2}$

D．$b_{4}<b_{7}$

答案    D．

解析    根据题意，有 $\{b_{2n}\}$ 单调递增，$\{b_{2n-1}\}$ 单调递减，且 $b_{2n-1}>b_{2n}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），于是有 $$b_1>b_3>b_5>\cdots>b_6>b_4>b_2,$$ 从而只有选项 $\boxed{D}$ 正确．

备注    注意到 $b_n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）为分数，因此数列 $\{b_n\}$ 以分数摆动的方式逐步靠拢，一个自然的问题是数列 $\{b_n\}$ 是否有极限．记 $$F(a_1,a_2,\cdots,a_n)=\dfrac{1}{a_1+\dfrac{1}{a_2+\dfrac{1}{\cdots+\dfrac{1}{a_n}}}},$$ 我们可以证明当 $n\geqslant 2$ 时，对任意 $n$ 个正整数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，有 $$|F(a_1,a_2,\cdots,a_n)-F(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1})|\leqslant \dfrac{1}{n}.$$ 当 $n=2$ 时，有 $$|F(a_1,a_2)-F(a_1)|=\left|\dfrac{1}{a_1+\dfrac{1}{a_2}}-\dfrac{1}{a_1}\right|=\left|\dfrac{1}{a_1(a_1a_2+1)}\right|\leqslant \dfrac 12,$$ 结论成立． 若命题对 $n$ 成立，则对 $n+1$ 时，有 $$\begin{split} |F(a_1,a_2,\cdots,a_{n+1})-F(a_1,a_2,\cdots,a_n)||&=\left|\dfrac{1}{a_1+F(a_2,\cdots,a_{n+1})}-\dfrac{1}{a_1+F(a_2,\cdots,a_n)}\right|\\ &=\dfrac{|F(a_2,\cdots,a_n)-F(a_2,\cdots,a_{n+1})|}{\left(a_1+F(a_2,\cdots,a_{n+1})\right)\left(a_1+F(a_2,\cdots,a_n)\right)}\\ &=\dfrac{|F(a_2,\cdots,a_n)-F(a_2,\cdots,a_{n+1})|}{a_1^2+a_1\left(F(a_2,\cdots,a_n)+F(a_2,\cdots,a_{n+1})\right)+F(a_2,\cdots,a_n)\cdot F(a_2,\cdots,a_{n+1})}\\ &\leqslant \dfrac{|F(a_2,\cdots,a_n)-F(a_2,\cdots,a_{n+1})|}{1+|F(a_2,\cdots,a_n)-F(a_2,\cdots,a_{n+1})|}\\ &\leqslant \dfrac{1}{n+1},\end{split}$$ 命题也成立． 这样我们就证明了 $$\lim_{n\to +\infty}|b_{n+1}-b_n|=0,$$ 因此数列 $\{b_n\}$ 有极限，进而数列 $\{b_n\}$ 是该极限值的截断分数近似．