每日一题[2745]蜘蛛侠

方程 $ax^2+b|x|+c=0$（$a,b,c\in{\mathbb R}$，$a\neq0$）在复数集内不同的根的个数为（       ）

A．$2$ 或 $4$ 个

B．至多 $4$ 个

C．至多 $6$ 个

D．可能为 $8$ 个

答案    C．

解析    根据题意，有 $$ax^2=-b|x|-c,$$ 于是 $x$ 为实数或纯虚数．当 $x$ 为纯虚数时，设 $x=m{\rm i}$（$m\in\mathbb R^{\ast}$），则 $$-am^2=-b|m|-c\iff am^2=b|m|+c,$$ 因此方程 $ax^2+b|x|+c=0$（$a,b,c\in{\mathbb R}$，$a\neq0$）在复数集内不同的根的个数与关于实数 $x$ 的方程 $$\pm ax^2=b|x|+c$$ 的解的个数相同．

不妨设 $a=1$，考虑到对称性，不妨设 $b\geqslant 0$． 若 $b=0$，则当 $c=0$ 时，方程解的个数为 $1$；当 $c\ne 0$ 时，方程解的个数为 $2$； 若 $b>0$，则当 $c=0$ 时，方程解的个数为 $3$；当 $c>0$ 时，方程解的个数为 $2$；当 $c<0$ 时，设 $\Delta=b^2+4c$，当 $\Delta<0$ 时，方程解的个数为 $2$；当 $\Delta=0$ 时，方程解的个数为 $4$；当 $\Delta>0$ 时，方程解的个数为 $6$．如图，当 $(a,b,c)=(1,-3,2)$ 时，题中方程的根为 $$x=\pm 1,\pm 2,\pm \dfrac{3-\sqrt{17}}2{\rm i}.$$