每日一题[2739]深境螺旋

设函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=f\left(\dfrac{1}{x+1}\right)$，定义域为 $D=[0,+\infty)$，值域为 $A$，若对于任何满足条件的函数 $f(x)$，均有 $A\subseteq\{y \mid y=f(x), x \in[0, a]\}$，则参数 $a$ 的取值范围为_______．

答案    $\left[\dfrac{-1+\sqrt5}2,+\infty\right)$．

解析    设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=\dfrac{1}{a_n+1}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），设集合 $D(t)$ 为当 $a_1=t$ 时数列 $\{a_n\}$ 中的所有项构成的集合，且 $$A(t)=\{y\mid y=f(x),x\in D(t)\},$$ 则 $A(t)=\{f(t)\}$．记方程 $x=\dfrac1{x+1}$ 的解为 $x_0=\dfrac{-1+\sqrt 5}2$，则 $$D(x_0)=\{x_0\},$$ 且当 $t\ne x_0$ 时，有 $$x_0\notin D(t),$$ 因此若对于任何满足条件的函数 $f(x)$，均有 $A\subseteq\{y \mid y=f(x), x \in[0, a]\}$，则 $$f(x_0)\in \{y \mid y=f(x), x \in[0, a]\}\implies x_0\in [0,a],$$ 于是 $a\geqslant x_0$． 当 $a\geqslant x_0$ 时，则当 $a_2\geqslant x_0$ 时，有 $a_3=\dfrac{1}{a_2+1}\in[0,x_0]$，这样就有 $$\bigcup_{t\in [x_0,+\infty)}A(t)\subseteq \bigcup_{t\in [0,x_0]}A(t)\implies \bigcup_{t\in [0,x_0]}A(t)=A\implies \{y\mid y=f(x),x\in [0,x_0]\}=A,$$ 而 $[0,x_0]\subseteq [0,a]$，因此符合题意．

综上所述，参数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{-1+\sqrt5}2,+\infty\right)$．

备注    事实上，由于当 $a_1\in [0,x_0]$ 时，$a_2=\dfrac{1}{a_1+1}\in[x_0,1]$，于是 $$\bigcup_{t\in [0,x_0]}A(t)\subseteq\bigcup_{t\in [x_0,1]}A(t)\subseteq\bigcup_{t\in [x_0,+\infty)}A(t),$$ 因此 $$\bigcup_{t\in [x_0,+\infty)}A(t)= \bigcup_{t\in [0,x_0]}A(t).$$ 进一步，当 $D_0$ 为包含 $x_0$ 的任意区间时，就有 $$A\subseteq \{y\mid y=f(x),x\in D_0\}.$$