设函数 f(x) 满足 f(x)=f(1x+1),定义域为 D=[0,+∞),值域为 A,若对于任何满足条件的函数 f(x),均有 A⊆{y∣y=f(x),x∈[0,a]},则参数 a 的取值范围为_______.
答案 [−1+√52,+∞).
解析 设数列 {an} 满足 an+1=1an+1(n∈N∗),设集合 D(t) 为当 a1=t 时数列 {an} 中的所有项构成的集合,且A(t)={y∣y=f(x),x∈D(t)},则 A(t)={f(t)}.记方程 x=1x+1 的解为 x0=−1+√52,则D(x0)={x0},且当 t≠x0 时,有x0∉D(t),因此若对于任何满足条件的函数 f(x),均有 A⊆{y∣y=f(x),x∈[0,a]},则f(x0)∈{y∣y=f(x),x∈[0,a]}⟹x0∈[0,a],于是 a⩾. 当 a\geqslant x_0 时,则当 a_2\geqslant x_0 时,有 a_3=\dfrac{1}{a_2+1}\in[0,x_0],这样就有\bigcup_{t\in [x_0,+\infty)}A(t)\subseteq \bigcup_{t\in [0,x_0]}A(t)\implies \bigcup_{t\in [0,x_0]}A(t)=A\implies \{y\mid y=f(x),x\in [0,x_0]\}=A,而 [0,x_0]\subseteq [0,a],因此符合题意.
综上所述,参数 a 的取值范围是 \left[\dfrac{-1+\sqrt5}2,+\infty\right).
备注 事实上,由于当 a_1\in [0,x_0] 时,a_2=\dfrac{1}{a_1+1}\in[x_0,1],于是\bigcup_{t\in [0,x_0]}A(t)\subseteq\bigcup_{t\in [x_0,1]}A(t)\subseteq\bigcup_{t\in [x_0,+\infty)}A(t),因此\bigcup_{t\in [x_0,+\infty)}A(t)= \bigcup_{t\in [0,x_0]}A(t). 进一步,当 D_0 为包含 x_0 的任意区间时,就有A\subseteq \{y\mid y=f(x),x\in D_0\}.