每日一题[2709]分类计数

满足 $1 \leqslant x \leqslant y \leqslant z \leqslant 20$ 且 $x+y+z$ 为 $20$ 的倍数的正整数组 $(x, y, z)$ 的个数为（       ）

A．$400$

B．$190$

C．$77$

D．前三个答案都不对

答案    C．

解析    根据题意，有 $3\leqslant x+y+z\leqslant 60$，于是 $x+y+z=20,40,60$．

情形一     $x+y+z=20$．不考虑 $x\leqslant y\leqslant z$，则满足 $x+y+z=20$ 的整数解个数为 $\dbinom{19}2=171$，其中形如 $m+m+n=20$ 的有 $9\cdot 3=27$ 组，形如 $p+q+r$ 的有 $171-27=144$ 组，因此满足 $x\leqslant y\leqslant z$ 的正整数解 $(x,y,z)$ 组数为 $$9+\dfrac{144}{3!}=33.$$

情形二     $x+y+z=40$．由 $$40=x+y+z\leqslant 3z\implies z\geqslant 14,$$ 按 $z=14,15,\cdots,20$ 列举可得正整数解组数为 $$2+3+4+5+7+9+11=43.$$

情形三     $x+y+z=60$．此时 $(x,y,z)=(20,20,20)$，有一组解．

综上所述，所求正整数组 $(x,y,z)$ 的个数为 $33+43+1=77$．