每日一题[2696]合页

三棱锥 $A-B C D$ 的顶点 $A, B, C, D$ 均在球 $O$ 的球面上，且 $\angle A C B=\angle A D B=90^{\circ}$，$\angle C A O=\angle D A O=30^{\circ}$，$A B=4$，则三棱锥 $A-B C D$ 体积的最大值为_______．

答案    $2$．

解析    设 $AB$ 的中点为 $M$，则由 $\angle A C B=\angle A D B=90^{\circ}$ 可得 $$MA=MB=MC=MD,$$ 于是 $M=O$，进而由 $\angle C A O=\angle D A O=30^{\circ}$ 可得 ${\rm Rt}\triangle CAB$ 与 ${\rm Rt}\triangle DAB$ 全等，进而三棱锥 $A-BCD$ 体积 $$\begin{split} [A-BCD]&=\dfrac 13\cdot d(C,ABD)\cdot [\triangle ABD]\\ &\leqslant \dfrac 13\cdot d(C,AB)\cdot [\triangle ABD]\\ &=\dfrac 13\cdot 4\cos30^\circ\sin30^\circ\cdot \left(\dfrac 12\cdot 2\cdot 2\sqrt 3\right)\\ &=2,\end{split}$$ 等号当 $CO\perp ABD$ 时取得，因此三棱锥 $A-BCD$ 体积的最大值为 $2$．