每日一题[2642]孰重孰轻

已知 $a, b, c$ 满足 $a={\log _5}\left(2^b+3^b\right)$，$c={\log _3}\left(5^b-2^b\right)$，则（       ）

A．$|a-c| \geqslant|b-c|$

B．$|a-c| \geqslant|b-c|$

C．$|a-b| \geqslant|b-c|$

D．$|a-b| \leqslant|b-c|$

答案    BD．

解析    根据题意，有 $b>0$（否则 $5^b-2^b<0$），设 $f(x)={\log_5}\left(2^x+3^x\right)$，$g(x)=x$，$h(x)={\log_3}\left(5^x-2^x\right)$，则在 $x\in (0,1)$ 时，有

$$f(x)>g(x)>h(x),$$ 当 $x\in (1,+\infty)$ 时，有 $$f(x)<g(x)<h(x).$$ 这是因为函数 $p(x)=\left(\dfrac 25\right)^x+\left(\dfrac 35\right)^x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，于是 $$p(x)\begin{cases} >1,&x\in(1,+\infty),\\ <1,&x\in (0,1),\end{cases}\implies \begin{cases} 2^x+3^x<5^x,&x\in(1,+\infty),\\ 2^x+3^x>5^x,&x\in (0,1),\end{cases}$$ 整理即得． 这样就有 $b$ 在 $a,c$ 之间，于是 $|a-c|\geqslant |b-c|$，选项 $\boxed{B}$ 正确；

而

$$|a-b|-|b-c|=|a+c-2b|=\begin{cases} q(b),&b\in (0,1),\\ -q(b),&b\in[1,+\infty),\end{cases}$$ 其中 $$q(x)={\log_5}\left(2^x+3^x\right)+{\log_3}\left(5^x-2^x\right)-2x,$$ 函数 $q(x)$ 满足 $q(1)=0$，注意到 $q(0^+)=-\infty$，排除选项 $\boxed{A}$，而 $$q(x)={\log_5}\left(1+\left(\dfrac 32\right)^x\right)+{\log_3}\left(\left(\dfrac 52\right)^x-1\right)+\left({\log_5}2+{\log_3}2-2\right)x,$$ 于是 $$\begin{split} q'(x)&=\dfrac{{\log_5}\dfrac 32}{\left(\dfrac 23\right)^x+1}+\dfrac{{\log_3}2.5}{1-\left(\dfrac 25\right)^x}+\left({\log_5}2+{\log_3}2-2\right)\\ &>\dfrac 12{\log_5}\dfrac 32+{\log_3}2.5+\left({\log_5}2+{\log_3}2-2\right)\\ &={\log_5}\sqrt 6+{\log_3}5-2\\ &>0,\end{split}$$ 因此 $q(x)$ 单调递增，选项 $\boxed{D}$ 得证．

另法      根据题意，有 $b>0$（否则 $5^b-2^b<0$），有

$$\begin{cases} 5^a=2^b+3^b,\\ 3^c=5^b-2^b,\end{cases}$$ 于是 $$5^{a-b}=\left(\dfrac 25\right)^b+\left(\dfrac 35\right)^b\begin{cases} >1,&0<b<1,\\ =1,&b=1,\\ <1,&b>1,\end{cases}$$ 且 $$3^{c-b}=\left(\dfrac 53\right)^b-\left(\dfrac 23\right)^b\begin{cases} <1,&0<b<1,\\ =1,&b=1,\\ >1,&b>1,\end{cases}$$ 从而有 $$\begin{cases} a>b>c,&0<b<1,\\ a=b=c,&b=1,\\ a<b<c,&b>1,\end{cases}$$ 进而 $|a-c|\geqslant |b-c|$． 又根据糖水不等式，有 $$5^{a-b}=\dfrac{3^b+2^b}{3^c+2^b}\begin{cases} >3^{b-c},&b<c,\\ =1,&b=c,\\ <3^{b-c}&b>c,\end{cases}$$ 进而 $$\begin{cases} 3^{a-b}>5^{a-b}>3^{b-c},&a<b<c,\\ a-b=b-c,&a=b=c,\\ 3^{a-b}<5^{a-b}<3^{b-c},&a>b>c,\end{cases}\implies |a-b|\leqslant |b-c|,$$ 从而选项 $\boxed{B}$ $\boxed{D}$ 正确．