每日一题[2637]调和分割

已知双曲线 $C: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）过点 $A\left(4 \sqrt{2}, 3\right)$，且焦距为 $10$．

1、求 $C$ 的方程．

2、已知点 $B(4 \sqrt{2},-3)$，$D(2 \sqrt{2}, 0)$，$E$ 为线段 $A B$ 上一点，且直线 $D E$ 交 $C$ 于 $G,H$ 两点．证明：$\dfrac{|G D|}{|G E|}=\dfrac{|H D|}{|H E|}$．

解析

1、根据题意，有

$$\begin{cases} 2\sqrt{a^2+b^2}=10,\\ \dfrac{\left(4\sqrt 2\right)^2}{a^2}-\dfrac{3^2}{b^2}=1,\end{cases}\iff \begin{cases} a^2=16,\\ b^2=9,\end{cases}$$ 于是所求 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}9=1$．

2、设 $D(x_0,y_0)$，则 $AB:\dfrac{x_0x}{a^2}-\dfrac{y_0y}{b^2}=1$，设 $E$ 点的坐标为 $(x_1,y_1)$，则有 $\dfrac{x_0x_1}{a^2}-\dfrac{y_0y_1}{b^2}=1$．设直线 $AB$ 的参数方程为

$$\begin{cases} x=\dfrac{x_0+tx_1}{1+t},\\ y=\dfrac{y_0+ty_1}{1+t},\end{cases}$$ 与双曲线方程联立，得 $$\left(\dfrac{x_1^2}{a^2}-\dfrac{y_1^2}{b^2}-1\right)t^2+2\left(\dfrac{x_0x_1}{a^2}-\dfrac{y_0y_1}{b^2}-1\right)t+\left(\dfrac{x_0^2}{a^2}-\dfrac{y_0^2}{b^2}-1\right)=0,$$ 该方程有两个不等实根，设为 $t_1,t_2$，则 $$t_1+t_2=0,$$ 即 $D,E$ 调和分割 $G,H$，命题得证．

备注  即极点极线的调和分割性质的引理．已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$），点 $D(x_0,y_0)$ 对应的极线为 $l$，过 $D$ 作直线交双曲线于 $G,H$ 两点，$E$ 点在直线 $GH$ 上，则“点 $E$ 在直线 $l$ 上”的充分必要条件是“$D,E$ 调和分割 $G,H$”．