每日一题[2605]分离变量

已知函数 f(x)=12x2+3xa(x+3lnx)aR).

1、若函数 f(x) 的极小值为 3aa22,求 a 的值.

2、设函数 g(x)=x2+(12a)xalnx,若函数 y=f(x) 的图象与 y=g(x) 的图象有两个不同的公共点,求 a 的取值范围.

解析

1、函数 f(x) 的定义域为 (0,+),其导函数f(x)=x+3a(1+3x)=(x+3)(xa)x,于是当 a 时,函数 f(x)(0,+\infty) 上单调递增,没有极值点;当 a>0 时,函数 f(x)x=a 处取得极小值f(a)=\dfrac 12a^2+3a-a(a+3\ln a)=3a-\dfrac 12a^2-3a\ln a,因此若函数 f(x) 的极小值为 3 a-\dfrac{a^2}{2},则3a-\dfrac 12a^2-3a\ln a=3a-\dfrac{a^2}2\iff a=1,因此 a 的值为 1

2、根据题意,方程 f(x)=g(x)(2x-4\ln x)a+4x-x^2=0,注意到2x-4\ln x=2x-4\ln\dfrac x2-4\ln 2\geqslant 2x-4\left(\dfrac x2-1\right)-4\ln 2=4(1-\ln 2)>0,因此方程 f(x)=g(x)a=\dfrac{x^2-4x}{2x-4\ln x},设方程右侧为函数 h(x),则其导函数h'(x)=\dfrac{(x-2)(4+x-4\ln x)}{2(x-2\ln x)^2},于是\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&0^+&(0,2)&2&(2,+\infty)&+\infty\\ \hline h(x)&0&\searrow&\dfrac{1}{\ln 2-1}&\nearrow&+\infty\\ \hline\end{array}因此所求实数 a 的取值范围为 \left(\dfrac{1}{\ln 2-1},0\right)

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