每日一题[2603]分离变量

已知函数 $f(x)=\dfrac{a {\rm e}^x}{x^2}$（$a \neq 0$）．

1、当 $a=1$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间．

2、设 $g(x)=f(x)-\dfrac{2}{x}-\ln x$，若 $g(x)$ 在区间 $(0,2)$ 上有两个极值点，求实数 $a$ 的取值范围．

解析

1、当 $a=1$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{{\rm e}^x(x-2)}{x^3},$$ 于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(-\infty,0),(2,+\infty)$，单调递减区间是 $(0,2)$．

2、根据题意，有 $$g(x)=\dfrac{a{\rm e}^x}{x^2}-\dfrac 2x-\ln x,$$ 其导函数 $$g'(x)=\dfrac{(x-2)\left(a{\rm e}^x-x\right)}{x^3},$$ 该函数在区间 $(0,2)$ 上有两个极值点，于是方程 $$a=\dfrac{x}{{\rm e}^x}$$ 在区间 $(0,2)$ 上有两个实数解．设方程右侧函数为 $h(x)$，则其导函数 $$h'(x)=\dfrac{1-x}{{\rm e}^x},$$ 因此 $$\begin{array}{c|c|c|c}\hline x&0^+&(0,1)&1&(1,2)&2^-\\ \hline h(x)&0&\nearrow&\dfrac{1}{\rm e}&\searrow&\dfrac{2}{{\rm e}^2}\\ \hline \end{array}$$ 因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{2}{{\rm e}^2},\dfrac{1}{\rm e}\right)$．