每日一题[2602]强制分离

已知函数 $f(x)=x+\dfrac{1}{{\rm e}^x}$．

1、求函数 $f(x)$ 的单调区间．

2、若直线 $y=k x$ 与曲线 $y=f(x)$ 没有公共点，求实数 $k$ 的取值范围．

解析

1、函数的导函数

$$f'(x)=\dfrac{{\rm e}^x-1}{{\rm e}^x},$$ 于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(0,+\infty)$，单调递减区间是 $(-\infty,0)$．

2、方程 $kx=f(x)$ 即

$$k=1+\dfrac{1}{x{\rm e}^x},$$ 设方程右侧函数为 $g(x)$，则函数 $g(x)$ 的导函数 $$g'(x)=-\dfrac{1+x}{x^2{\rm e}^x},$$ 因此 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&-\infty&(-\infty,-1)&-1&(-1,0)&0-&0+&(0,+\infty)&+\infty \\ \hline g(x)&-\infty&\nearrow&1-{\rm e}&\searrow&-\infty&+\infty&\nearrow&1\\ \hline \end{array}$$ 于是若直线 $y=k x$ 与曲线 $y=f(x)$ 没有公共点，则实数 $k$ 的取值范围为 $\left(1-{\rm e},1\right]$．