已知 x,y⩾，x^{2019}+y=1，求证：x+y^{2019}>1-\dfrac 1{300}．（参考数据：\ln 2019\approx 7.610．）
解析 记 n=2019，f(x)=x+(1-x^n)^n，则欲证不等式即函数 f(x) 在 x\in [0,1] 上的最小值大于 1-\dfrac{1}{300}．函数 f(x) 的导函数f'(x)=1-n^2x^{n-1}(1-x^n)^{n-1},因此其极值点 m 满足1-n^2m^{n-1}(1-m^n)^{n-1}=0\iff 1-m^n=\dfrac{n^{-\frac 2{n-1}}}{m},此时极值\begin{split} f(m)&=m+(1-m^n)^n\\ &=m+\dfrac{n^{-\frac{2n}{n-1}}}{m^n}\\ &=\underbrace{\dfrac mn+\dfrac mn+\cdots+\dfrac mn}_{n}+\dfrac{n^{-\frac{2n}{n-1}}}{m^n}\\ &\geqslant (n+1)\left(\dfrac{n^{-\frac{2n}{n-1}}}{n^n}\right)^{\frac{1}{n+1}}\\ &=\dfrac{n+1}{n}\cdot n^{-\frac{1}{n-1}},\end{split} 问题转化为证明\dfrac{2020}{2019}\cdot 2019^{-\frac{1}{2018}}>1-\dfrac{1}{300},也即-\dfrac{1}{2018}\ln 2019>\ln\left(1-\dfrac{1}{2020}\right)+\ln\left(1-\dfrac{1}{300}\right),注意到 \ln x \leqslant x-1，因此\ln\left(1-\dfrac{1}{2020}\right)+\ln\left(1-\dfrac{1}{300}\right)\leqslant -\dfrac{1}{2020}-\dfrac{1}{300},问题转化为证明\ln 2019<\dfrac{2018}{2020}+\dfrac{2018}{300},事实上，有\dfrac{2018}{2020}+\dfrac{2018}{300}>\dfrac{1998}{2000}+\dfrac{2016}{300}=0.999+6.72=7.719>\ln 2019,命题得证．
备注 一般的，若 x^n+y=1，则 x+y^n>1-\dfrac{\ln n}{n-1}．