每日一题[2501]极坐标表示

已知动点 $P(x, y)$ 到点 $F(1,0)$ 与到直线 $x=-1$ 的距离相等．

1、求点 $P$ 的轨迹 $L$ 的方程．

2、设 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$（$y_{0} \geqslant 0$）在曲线 $L$ 上，过 $M$ 作两条互相垂直的直线分别交曲线 $L$ 异于 $M$ 的两 点 $A, B$，且 $|M A|=|M B|$，记直线 $M A$ 的斜率为 $k$（$k>0$）．

① 试用 $k$ 的代数式表示 $y_{0}$；

② 求 $\triangle M A B$ 面积 $S$ 的最小值．

解析

1、$y^2=4x$；

2、设 $M(4t^2,4t)$，平移坐标系原点到 $M$，则抛物线方程为 $$(y+4t)^2=4(x+4t^2)\iff y^2+8ty=4x.$$ 在新坐标系下，设 $A(\theta:r)$，$B\left(\theta-\dfrac{\pi}2:r\right)$，于是 $$\begin{cases} r^2\sin^2\theta+8tr\sin\theta=4r\cos\theta,\\ r^2\cos^2\theta-8tr\cos\theta=4r\sin\theta,\end{cases}\iff \begin{cases} 2t=\dfrac{1-\tan^3\theta}{\tan^2\theta+\tan\theta},\\ r=\dfrac{4}{\sin\theta\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta)},\end{cases}$$ 而 $k=\tan\theta$．

① 因此 $$y_0=4t=\dfrac{2(1-k^3)}{k^2+k}.$$

② 进而 $$S=\dfrac 12r^2=\dfrac{16}{\sin^22\theta\sin^2\left(\theta+\dfrac{\pi}4\right)}\geqslant 16,$$ 等号当 $\theta=\dfrac{\pi}4$ 时取得，因此 $S$ 的最小值为 $16$．