已知椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）的焦点 $F_{1}(-c, 0)$，$F_{2}(c, 0)$（$ c>0 $），过右焦点 $ F_{2} $ 的直线 $ l $ 与圆 $ x^{2}+y^{2}=b^{2} $ 相切于点 $ P $，与椭圆相交于 $ A,B $ 两点，点 $ A $ 在 $ x $ 轴上方，且切点 $ P $ 恰为线段 $ A F_{2} $ 的中点，则椭圆的离心率为_______，直线 $ l$ 的斜率为_______．
答案 $\dfrac{\sqrt 5}3$；$-2$．
解析 如图．
不妨设 $a=1$，椭圆的离心率为 $e$，则 $b=\sqrt{1-e^2}$，$c=e$，根据焦半径公式 $II$，有\[\cos\angle PF_2O=\dfrac{|PF_2|}{|OF_2|}=\dfrac{\sqrt{2e^2-1}}e,\]因此\[\dfrac{1-e^2}{1-\sqrt{2e^2-1}}=2\sqrt{2e^2-1},\]解得 $e=\dfrac{\sqrt 5}3$，进而直线 $l$ 的斜率为 $-\tan\angle PF_2O=-2$．