每日一题[2487]容斥原理

设 $a_{1},a_2,\cdots,a_{10}$ 是 $1,2,\cdots,10$ 的一个随机排列，则在 $a_{1} a_{2},a_{2} a_{3}, \cdots,a_{9} a_{10}$ 这 $9$ 个数中既出现 $9$ 又出现 $12$ 的概率为_______．

答案    $\dfrac7{90}$．

解析    注意到 $9=1\cdot 9$，$12=2\cdot 6=3\cdot 4$，因此设 基本事件：$1,2,\cdots,10$ 的一个排列． 事件 $A$：$1$ 与 $9$ 相邻； 事件 $B$：$2$ 与 $6$ 相邻； 事件 $C$：$3$ 与 $4$ 相邻． 用 $|P|$ 表示事件 $P$ 发生所包含的基本事件数，则有

$$|AB|=|AC|=2^2\cdot 8!,\quad |ABC|=2^3\cdot 7!,$$ 从而 $$|A(B+C)|=|AB|+|AC|-|ABC|=7\cdot 8!,$$ 所求概率为 $\dfrac{7\cdot 8!}{10!}=\dfrac 7{90}$．