定义域为 $\mathbb{R}$ 的函数 $f(x)$ 满足：当 $x \in[0,1)$ 时，$f(x)=2^{x}-x$，且对任意实数 $x$，均有 $f(x)+f(x+1)=1$．记 $a={\log _{2}} 3$，则表达式 $f(a)+f(2 a)+f(3 a)$ 的值为_______．
答案 $\dfrac{17}{16}$．
解析 根据题意，有\[a={\log _{2}} 3,\quad 2a={\log _{2}} 9,\quad 3a={\log _{2}} 27,\]因此\[1<a<2<3<2a<4<3a<5,\]从而所求代数式\[m=f(a)+f(2a)+f(3a)=f\big(1+(a-1)\big)+f\big(3+(2a-3)\big)+f\big(4+(3a-4)\big),\]其中 $a-1,2a-3,3a-4\in [0,1)$，而\[f(n+x)=\begin{cases} 1-f(x),&n~\text{为奇数},\\ f(x),&n~\text{为偶数},\end{cases}\]从而\[\begin{split} m&=\big(1-f(a-1)\big)+\big(1-f(2a-3)\big)+f(3a-4)\\ &=4-f(a-1)-f(2a-3)+f(3a-4)\\ &=2-2^{a-1}-2^{2a-3}+2^{3a-4}+\big(-(a-1)-(2a-3)+(3a-4)\big)\\ &=2-\dfrac 32-\dfrac 98+\dfrac{27}{16}\\ &=\dfrac{17}{16}.\end{split}\]