每日一题[2452]消元求值

设向量 $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ 满足 $\boldsymbol a^2+\boldsymbol b^2+\boldsymbol a\cdot \boldsymbol b=1$，则 $\boldsymbol a^2-\boldsymbol b^2$ 的最大值为_______．

答案    $\dfrac{2\sqrt 3}3$．

设 $\boldsymbol a^2+\boldsymbol b^2=2x$，$\boldsymbol a^2-\boldsymbol b^2=2y$，则 $|\boldsymbol a|=\sqrt{x+y}$，$|\boldsymbol b|=\sqrt{x-y}$，进而根据条件，有

$$|\boldsymbol a\cdot \boldsymbol b|\leqslant |\boldsymbol a|\cdot |\boldsymbol b|\implies |1-2x|\leqslant \sqrt{x+y}\cdot \sqrt{x-y}\implies y^2\leqslant -3x^2+4x-1,$$ 因此 $2y\leqslant \dfrac{2\sqrt 3}3$，且当 $x=\dfrac 23$ 时取得等号，因此所求最大值为 $\dfrac{2\sqrt 3}3$．