2014年北京大学全国优秀中学生体验营数学试卷

说明    文科考生做前5题，理科考生做后5题，每题20分， 共100分．

1、设关于$x$的方程$x^2-ax+2a-2=0$在区间$\left[0,\dfrac 32\right]$内有根，求实数$a$的取值范围．

2、设$a,b,c$满足$a+b+c=a^3+b^3+c^3=0$，$n$为任意自然数，求$a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}$的值．

3、证明：若$n$为不小于$2$的自然数，$t$为实数且$\sin\dfrac{t}{2}\neq 0$，则

$$\sum_{k=1}^n\left(1+\sum_{p=1}^{k-1}2\cos pt\right)=\left(\dfrac{\sin\frac{nt}2}{\sin\frac t2}\right)^2.$$

4、一个等腰梯形的腰和底的长分别为$\sqrt 2$和$3$，求这个梯形面积的最大值．

5、求出所有实数$x$，使得$\dfrac{x^2+4x-1}{7x^2-6x-5}$与$\dfrac{1-x}{1+x}$同时为整数．

6、顶点为$A$的等腰三角形$ABC$的角$B$的平分线交$AC$于$D$，已知$BC=BD+AD$，求角$A$的度数． 7、设$a,b,c$是实数，方程$x^3+ax^2+bx+c=0$有$3$个正根，证明$2a^3+9c\leqslant 7ab$，并且等号成立当且仅当这$3$个正根相等．

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参考答案

1、$\left[-\dfrac 12,4-2\sqrt 2\right]$    

提示    分离变量．

2、$0$    

提示    $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)$，于是$abc=0$．

3、略    

提示    可以两次裂项求和，也可以用数学归纳法．

4、$\dfrac{7\sqrt 7}4$

提示    面积最大时，上底长为$3$，设底角为$x$，面积为$3\sqrt 2\sin x+\sin 2x$，利用导数可得当$\cos x=\dfrac{\sqrt 2}4$时面积最大．

5、$-\dfrac 34,-\dfrac 12,-\dfrac 13,1$

提示    显然$\dfrac{x^2+4x-1}{7x^2-6x-5}\neq 0$，于是

$$\left|x^2+4x-1\right|\geqslant\left|7x^2-6x-5\right|,$$ 解得 $$-\dfrac 34\leqslant x\leqslant -\dfrac 13\lor 1\leqslant x\leqslant 2.$$ 考虑到$\dfrac{1-x}{1+x}$为整数，于是 $x=\dfrac 2k-1$，其中$k\in\mathcal Z$．于是$x$的所有可能的值为 $$1,0,-\dfrac 13,-\dfrac 12,-\dfrac 35,-\dfrac 23,-\dfrac 57,-\dfrac 34,$$ 逐一验证即得．

6、$A=100^\circ$

提示    在线段$BC$上截取$BE=BD$，过$D$作$BC$的平行线交$AB$于$F$，则$\triangle ADF$与$\triangle ECD$全等，进而可求得$A=100^\circ$． 7、略

提示    设方程的根为$x_1,x_2,x_3$，则

$$7ab-2a^3-9c=\sum_{cyc}{\left(x_1+x_2\right)\left(x_1-x_2\right)^2}\geqslant 0,$$ 等号当且仅当$x_1=x_2=x_3$．

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