题拍拍征解题[41]

发表于2021年8月2日由意琦行

『28934067』设 $a,b,c$ 是正实数，求证：$\dfrac{bc}{a^2+bc}+\dfrac{ca}{b^2+ca}+\dfrac{ab}{c^2+ab}\leqslant \dfrac a{b+c}+\dfrac b{c+a}+\dfrac c{a+b}$．

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《题拍拍征解题[41]》有2条回应

  1. Avatar photo 爱吃灰狼的小白糖说：
    2025年2月28日 上午1:14

    由$\text{C-S}$知
    \[ \begin{aligned}
    \sum\dfrac{bc}{a^2+bc}&=3-\sum\dfrac{a^2}{a^2+bc}\\
    &\le3-\dfrac{(a+b+c)^2}{\sum a^2+\sum ab}\\
    \sum\dfrac{a}{b+c}&\ge\dfrac{(a+b+c)^2}{2\sum ab}
    \end{aligned} \]
    往证$3-\dfrac{(a+b+c)^2}{\sum a^2+\sum ab}\le\dfrac{(a+b+c)^2}{2\sum ab}$
    设$p=a+b+c,q=ab+bc+ca$，即证
    \[ p^2(p^2+q)\ge6(p^2-q)q \]
    即证$(p^2-2q)(p^2-3q)\ge0$，显然成立
    得证

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