已知 $S=\displaystyle\sum_{i=0}^{2021}\left[\frac{2^{i}}{7}\right]$，则 $S$ 的个位数字是（ ）
A．$4$
B．$5$
C．$7$
D．以上答案都不对
答案 $B$．
解析 注意到 $2^i$ 模 $7$ 的余数，有\[ \left[\dfrac{2^i}7\right]=\begin{cases}\dfrac{2^i-1}7,&i\equiv 0\pmod 3,\\ \dfrac{2^i-2}7,&i\equiv 1\pmod 3,\\ \dfrac{2^i-4}7,&i\equiv 2\pmod 3,\end{cases}\]因此\[ S=\sum_{i=0}^{2021}\dfrac{2^i}7-674\left(\dfrac 17+\dfrac 27+\dfrac 37\right)=\dfrac{2^{2022}-1}{7}-674,\]考虑到\[\dfrac{2^{2022}-1}7=\dfrac{8^{674}-1}{7}=8^{673}+8^{672}+\cdots+1,\]注意到 $8$ 的方幂的尾数 $8,4,2,6$ 循环，因此\[\dfrac{2^{2022}-1}7\equiv 1+(8+4+2+6)\cdot 168+8\equiv 9\pmod {10},\]从而 $S$ 的个数数字为 $5$．