每日一题[2415]分类讨论

已知空间区域 $\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\leqslant 1,z\geqslant 0\}$ 中存在四个点两两距离都是 $d$，则 $d$ 的最大值为_______．

答案    $\dfrac{\sqrt 6}2$．

解析    记符合题意的四个点为 $A,B,C,D$，则四面体 $ABCD$ 是棱长为 $d$ 的正四面体．考虑这四个点在平面 $z=0$ 上的个数，显然四个点中至少有一个在平面 $z=0$ 上．

情形一    $A,B,C,D$ 中有三点 $A,B,C$ 在平面 $z=0$ 上．此时 $d(D,ABC)\leqslant 1$，此时 $d\leqslant \dfrac{\sqrt 6}2$．

情形二     $A,B,C,D$ 中有两点 $A,B$ 在平面 $z=0$ 上．设 $AB$ 中点为 $M$，则 $AB\perp MCD$，因此平面 $MCD$ 与平面 $z=0$ 垂直．考虑平面 $MCD$ 截半球面得到的半圆，当其圆心为半球面球心 $O$ 重合时半圆半径最大，此时 $M=O$，进而可得 $|CD|=d$，$d(O,CD)=\dfrac d{\sqrt 2}$，从而根据垂径定理 $$\left(\dfrac12|CD|\right)^2+d^2(O,CD)\leqslant 1\iff \dfrac 14d^2+\dfrac 12d^2\leqslant 1\iff d\leqslant \dfrac{2}{\sqrt 3}.$$

情形三    $A,B,C,D$ 中有一点 $A$ 在平面 $z=0$ 上．此时 $d(A,BCD)< 1$，此时 $d< \dfrac{\sqrt 6}2$．

综上所述，$d$ 的最大值为 $\dfrac{\sqrt 6}2$．