每日一题[2399]解四边形

已知四边形 $AEBC$ 内接于圆 $O$ ， $BC$ 为圆 $O$ 的直径， $ED\parallel BC$ 且与 $AC$ 交于点 $D$ ， $BE=12$ ， $DE=DC=14$ ，则（）

答案 AD．

解析连接 $CE,AB$ ，则 $\angle BEC=\angle BAC=90^\circ$ ，如图．

设 $\angle ECB=\angle DEC=\angle DCE=\theta$ ，则

\tan θ = \frac{B E}{E C} ⟺ \tan θ = \frac{12}{2 \cdot 14 \cos θ} ⟺ \sin θ = \frac{3}{7},

$\tan\theta=\dfrac{BE}{EC}\iff \tan\theta=\dfrac{12}{2\cdot 14\cos\theta}\iff \sin\theta=\dfrac 37,$ 因此

B C = 28

$BC=28$ ，

A E = B E = 12

$AE=BE=12$ ，且

\cos ∠ D C B = \cos 2 θ = 1 - 2 \sin^{2} θ = \frac{31}{49},

$\cos\angle DCB=\cos2\theta=1-2\sin^2\theta=\dfrac{31}{49},$ 于是根据余弦定理，有

B D = \sqrt{B C^{2} + D C^{2} - 2 \cdot B C \cdot D C \cdot \cos ∠ D C B} = 22.

$BD=\sqrt{BC^2+DC^2-2\cdot BC\cdot DC\cdot \cos\angle DCB}=22.$

此条目发表在每日一题分类目录，贴了平面几何计算标签。将固定链接加入收藏夹。