每日一题[2359]坐标驱动

已知抛物线 $C:x^2=2py$（$p>0$）的焦点为 $F$，且 $F$ 与圆 $M:x^2+(y+4)^2=1$ 上点的距离的最小值为 $4$．

1、求 $p$．

2、若点 $P$ 在 $M$ 上，$PA,PB$ 是 $C$ 的两条切线，$A,B$ 是切点，求 $\triangle PAB$ 面积的最大值．

解析

1、由题意可知

$$|FM|-1=4\implies\frac{p}{2}+4-1=4\implies p=2.$$

2、设 $A(4a,4a^2)$，$B(4b,4b^2)$ 且 $a>b$，则

$$AB:y=(a+b)x-4ab,$$ 从而 $P\left(2(a+b),4ab\right)$，进而 $$\overrightarrow{PA}=(2(a-b),4a(a-b)),\quad \overrightarrow{PB}=(-2(a-b),-4b(a-b)),$$ 根据三角形面积坐标公式，$\triangle PAB$ 的面积 $$S=\dfrac 12\cdot 4(a-b)^2|1\cdot (-2b)-2a\cdot (-1)|=4(a-b)^3.$$ 由于 $P$ 点圆 $M$ 上，因此 $$4(a+b)^2+(4ab+4)^2=1,$$ 记 $a+b=s$，$a-b=t$，则有 $$4s^2+(s^2-t^2+4)^2=1,$$ 因此 $$t^2=s^2+4\pm\sqrt{1-4s^2},$$ 再设 $u=\sqrt{1-4s^2}$，$u\in [0,1]$，则 $$t^2=\dfrac{1-u^2}4+4\pm u,$$ 因此当 $u=1$ 时，$t$ 取得最大值 $\sqrt 5$，此时 $\triangle PAB$ 的面积取得最大值，为 $20\sqrt 5$．