已知抛物线 $C:x^2=2py$（$p>0$）的焦点为 $F$，且 $F$ 与圆 $M:x^2+(y+4)^2=1$ 上点的距离的最小值为 $4$．
1、求 $p$．
2、若点 $P$ 在 $M$ 上，$PA,PB$ 是 $C$ 的两条切线，$A,B$ 是切点，求 $\triangle PAB$ 面积的最大值．
解析
1、由题意可知 \[ |FM|-1=4\implies\frac{p}{2}+4-1=4\implies p=2. \]
2、设 $A(4a,4a^2)$，$B(4b,4b^2)$ 且 $a>b$，则\[AB:y=(a+b)x-4ab,\]从而 $P\left(2(a+b),4ab\right)$，进而\[\overrightarrow{PA}=(2(a-b),4a(a-b)),\quad \overrightarrow{PB}=(-2(a-b),-4b(a-b)),\]根据三角形面积坐标公式，$\triangle PAB$ 的面积\[S=\dfrac 12\cdot 4(a-b)^2|1\cdot (-2b)-2a\cdot (-1)|=4(a-b)^3.\]由于 $P$ 点圆 $M$ 上，因此\[4(a+b)^2+(4ab+4)^2=1,\]记 $a+b=s$，$a-b=t$，则有\[4s^2+(s^2-t^2+4)^2=1,\]因此\[t^2=s^2+4\pm\sqrt{1-4s^2},\]再设 $u=\sqrt{1-4s^2}$，$u\in [0,1]$，则\[t^2=\dfrac{1-u^2}4+4\pm u,\]因此当 $u=1$ 时，$t$ 取得最大值 $\sqrt 5$，此时 $\triangle PAB$ 的面积取得最大值，为 $20\sqrt 5$．