每日一题[2353]“小学计算题”

如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $4$，$F$ 为线段 $AB$ 的中点．以 $D$ 为圆心，$4$ 为半径，作扇形 $DAC$；以 $F$ 为圆心，$2$ 为半径，作半圆 $FAB$；设两条圆弧的交点为 $E$．求阴影部分的面积 $S$．

答案    $2\pi-8+12\arctan\dfrac{1}{2}$．

解析  由对称性可知，$DA,DE$ 都是 $\overparen{AEB}$ 的切线，$FA,FE$ 都是 $\overparen{AEC}$ 的切线．

设 $\angle ADF=\theta$，则 $$\tan\theta=\frac{AF}{AD}=\frac{1}{2},$$ 于是 $$\begin{split} S &=S_{ \text{扇形} DAE}+S_{ \text{扇形} FAE}-S_{ADEF}\\ &=\frac{1}{2}\cdot DA^2\cdot 2\theta+\frac{1}{2}\cdot FA^2\cdot (\pi-2\theta)-DA\cdot FA\\ &=2\pi-8+12\theta\\ &=2\pi-8+12\arctan\frac{1}{2}. \end{split}$$