已知 $a$ 为实数，解关于 $x$ 的方程\[\sqrt{{\log_a}\sqrt[4]{ax}+{\log_x}\sqrt[4]{ax}}+\sqrt{{\log_a}\sqrt[4]{\dfrac xa}+{\log_x}\sqrt[4]{\dfrac ax}}=a.\]
答案 $x=a^{a^2}$ 或 $x=a^{\frac{1}{a^2}}$，其中 $a>1$．
解析 根据题意，有 $a,x>0$ 且 $a,x\ne 1$，记 ${\log_a}x=t$，则\[\sqrt{\dfrac 14(1+t)+\dfrac14\left(\dfrac 1t+1\right)}+\sqrt{\dfrac 14(t-1)+\dfrac14\left(\dfrac 1t-1\right)}=a,\]也即\[\sqrt{t+\dfrac 1t+2}+\sqrt{t+\dfrac 1t-2}=2a,\]于是 $t>0$，且\[\left|\sqrt t+\dfrac{1}{\sqrt t}\right|+\left|\sqrt t-\dfrac1{\sqrt t}\right|=2a,\]即\[\max\left\{\sqrt t,\dfrac{1}{\sqrt t}\right\}=a\iff a^2=\begin{cases} t,&t\geqslant 1,\\ \dfrac{1}{t},&0<t<1,\end{cases}\iff \begin{cases} a>1,\\ t=a^2\lor t=\dfrac{1}{a^2},\end{cases}\]从而 $x=a^{a^2}$ 或 $x=a^{\frac{1}{a^2}}$，其中 $a>1$．