每日一题[2287]捕捉整数

已知 $n\in\mathbb Z$，函数 $f(x)=x^{2}+x+\dfrac{1}{2}$ 的定义域是 $[n, n+1]$，问 $f(x)$ 的值域中有多少个整数？

答案    $|2n+2|$．

解析    函数 $f(x)$ 的值域

$$D(n)=\begin{cases} [f(n),f(n+1)],&n\geqslant 0,\\ \left[\dfrac14,\dfrac 12\right],&n=-1,\\ \left[f(n+1),f(n)\right],&n\leqslant -2,\end{cases}=\begin{cases} \left[n^2+n+\dfrac12,n^2+3n+\dfrac 52\right],&n\geqslant 0,\\ \left[\dfrac14,\dfrac 12\right],&n=-1,\\ \left[n^2+3n+\dfrac 52,n^2+n+\dfrac 12\right],&n\leqslant -2,\end{cases}$$ 因此 $D(n)$ 中的整数个数 $$k(n)=\begin{cases} 2n+2,&n\geqslant 0,\\ 0,&n=-1,\\ -2n-2,&n\leqslant -2.\end{cases}=|2n+2|.$$