每日一题[2286]缩骨功

若函数 $f(x)=-\dfrac12x^2+\dfrac{13}2$ 在区间 $[a,b]$ 上的最小值为 $2a$，最大值为 $2b$，求区间 $[a,b]$．

答案    $[1,3]$ 或 $\left[-2-\sqrt{17},\dfrac{13}4\right]$．

解析   

情形一     $0 \leqslant a<b$．此时有 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递减，故 $$\begin{cases} f(a)=2b,\\ f(b)=2a,\end{cases}\iff \begin{cases}{2 b=-\dfrac 1 2 a^ 2+\dfrac {13} 2} \\ {2 a=-\dfrac1 2 b^ 2+\dfrac {13} 2}\end{cases}\iff \begin{cases} a=1,\\ b=3.\end{cases}$$

情形二     $a<0<b$．此时有 $f(x)$ 在 $[a,0]$ 上单调递增，在 $[0,b]$ 上单调递减，所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可取到最大值 $2b$，在 $x=a$ 或 $x=b$ 处取最小值 $2a$，所以 $b=\dfrac{13}4$，又因为 $a<0$ 且 $f(b)>0$，所以 $f(x)$ 在点 $a$ 取最小值 $2a$，有 $$2 a=-\dfrac 1 2 a^ 2+\dfrac {13} 2\iff a=-2-\sqrt{17}.$$

情形三     $a<b\leqslant 0$．此时 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递增，故 $$\begin{cases} f(a)=2a,\\ f(b)=2b,\end{cases}\iff \begin{cases}{2 a=-\dfrac 1 2 a^ 2+\dfrac {13} 2}, \\ {2 b=-\dfrac1 2 b^ 2+\dfrac {13} 2},\end{cases}$$ 无解．

综上所述，所求区间为 $[1,3]$ 或 $\left[-2-\sqrt{17},\dfrac{13}4\right]$．