每日一题[2283]配对

$A=\left[\dfrac 89\right]+\left[\dfrac {8^2}9\right]+\left[\dfrac {8^3}9\right]+\cdots +\left[\dfrac {8^{2014}}9\right]$ 被 $63$ 除的余数为 [[nn]]．（符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．）

答案    $56$．

解析    根据题意，有

$$\begin{split} A&=\sum_{k=1}^{1007}\left(\left[\dfrac {8^{2k-1}}9\right]+\left[\dfrac {8^{2k}}9\right]\right)\\ &=\sum_{k=1}^{1007}\left(\dfrac{8^{2k-1}}9+\dfrac{8^{2k}}9-1\right)\\ &=\sum_{k=1}^{1007}\left(8^{2k-1}-1\right)\\ &=\sum_{k=1}^{1007}\left(64^{k-1}\cdot 8-1\right)\\ &\equiv 7\cdot 1007\pmod{63}\\ &\equiv 56\pmod{63} .\end{split}$$