已知 $\{a_n\}$ 是公差 $d$ 不等于 $0$ 的等差数列，且 $\{a_{k_n}\}$ 是等比数列，其中 $k_1=3$，$k_2=5$，$k_3=9$．
1、求 $k_1+k_2+\cdots+k_n$ 的值．
2、若 $b_n=\dfrac{a_{n+1}}{a_{n+2}}+\sqrt{\dfrac{a_n}{a_{n+2}}}$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，证明：\[\dfrac{1}{1\cdot 2\sqrt{2b_1}}+\dfrac{1}{2\cdot 3\sqrt{2b_2}}+\cdots+\dfrac{1}{n\cdot (n+1)\sqrt{2b_n}}<\sqrt{\dfrac n{n+1}}.\]
解析
1、根据题意，有\[a_{k_1}=a_3=a_1+2d,\quad a_{k_2}=a_5=a_1+4d,\quad a_{k_3}=a_9=a_1+8d,\]因此\[(a_1+4d)^2=(a_1+2d)(a_1+8d)\iff a_1d=0\iff a_1=0,\]从而 $\{a_{k_n}\}$ 是首项为 $2d$，公比为 $2$ 的等比数列，有\[a_{k_n}=d\cdot 2^n\iff (k_n-1)d=d\cdot 2^n\iff k_n=2^n+1.\]从而\[k_1+k_2+\cdots+k_n=2^{n+1}+n-2.\]
2、根据题意，有\[b_n=\dfrac{n}{n+1}+\sqrt{\dfrac{n-1}{n+1}},\]因此\[\sqrt{2b_n}=\sqrt{\dfrac{2n}{n+1}+2\sqrt{\dfrac{n-1}{n+1}}}=1+\sqrt{\dfrac{n-1}{n+1}},\]分析通项，只需要证明\[\dfrac{1}{n(n+1)\cdot \left(1+\sqrt{\dfrac{n-1}{n+1}}\right)}<\sqrt{\dfrac{n}{n+1}}-\sqrt{\dfrac{n-1}n},\]也即\[\dfrac{1}{\sqrt n\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\right)}<n-\sqrt{n^2-1},\]也即\[\dfrac{1}{\sqrt n\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\right)}<\dfrac{2}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\right)^2},\]也即\[\sqrt n-\sqrt{n-1}>\sqrt{n+1}-\sqrt n,\]这显然成立，命题得证．