每日一题[2227]合理构图

在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为边 $BC$ 的中点，$E$ 为边 $BC$ 上一点，且 $AE=AC=BE$，$DE=1$，若 $\cos C=\dfrac 13$，则 $\triangle ABC$ 的面积等于_______

答案    $20\sqrt 2$．

解析    如图，设 $EC$ 的中点为 $M$，$AC=BD=3x$，$CM=EM=x$，于是

$$DE=1\iff BD-EC=1\iff x=2,$$ 因此 $\triangle ABC$ 的面积 $$S=\dfrac 12\cdot BC\cdot AM=\dfrac 12\cdot 10\cdot 4\sqrt 2=20\sqrt 2.$$