每日一题[2199]全概率方程

${\rm Misha}$ 不停的投掷一个正方体骰子，直到连续三次按顺序投出 $1,2,3$ 为止，设她停止时投掷次数为奇数次的概率的最简分数表示为 $\dfrac mn$，则 $m+n=$_______．

答案    $647$．

解析    记连续三次按顺序投出 $1,2,3$ 时，投掷次数为奇数为奇序列 $O$，投掷次数为偶数的为偶序列 $E$，设投出偶序列的概率为 $a$，投出以 $1$ 开头的条件下得到偶序列的概率为 $b$，投出以 $1,2$ 开头的条件下得到偶序列的概率为 $c$，则

$$O=(1E)+2E+3E+4E+5E+6E\iff a=\dfrac{1}{6} b+\dfrac{5}{6}(1-a),$$ 而 $$(1O)=1(1E)+(12O)+13O+14O+15O+16O\iff b=\dfrac{1}{6}(1-b)+\dfrac{1}{6} c+\dfrac{4}{6} a,$$ 且 $$(12O)=12(1O)+123+122E+124E+125E+126E\iff c=\dfrac{1}{6} b+\dfrac{1}{6}+\dfrac{4}{6}(1-a),$$ 联立以上三个方程，解得 $$(a,b,c)=\left(\dfrac{216}{431},\dfrac{221}{431},\dfrac{252}{431}\right),$$ 因此所求和为 $216+431=647$．