每日一题[2178]距离折算

设正八边形 $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ 内接于面积为 $1$ 的圆．点 $P$ 在圆内且由 $PA_1,PA_2$ 及劣弧 $A_1A_2$ 围成的区域面积为 $\dfrac 17$，由 $PA_3,PA_4$ 及劣弧 $A_3A_4$ 围成的区域面积为 $\dfrac 19$，由 $PA_6,PA_7$ 及劣弧 $A_6A_7$ 围成的区域面积为 $\dfrac 18-\dfrac{\sqrt 2}n$，其中 $n$ 为正整数，则 $n=$_______．

答案    $504$．

解析    设正八边形的中心为 $C$，边长为 $2x$，则 $\triangle CA_1A_2,\triangle CA_3A_4,\triangle CA_6A_7$ 的面积均为 $\dfrac 18$．

因此 $P$ 到 $A_1A_2$ 的距离比 $C$ 到 $A_1A_2$ 的距离多

$$\dfrac{\frac 17-\frac 18}x,$$ 类似的，$P$ 到 $A_3A_4$ 的距离比 $C$ 到 $A_3A_4$ 的距离少 $$\dfrac{\frac 18-\frac 19}x,$$ 把这两个距离差值折合到与 $A_6A_7$ 垂直的方向上，可得 $P$ 到 $A_6A_7$ 的距离比 $C$ 到 $A_6A_7$ 的距离少 $$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot\left (\frac{\frac{1}{7}-\frac{1}{8}}{x} -\frac{\frac{1}{8}-\frac{1}{9}}{x}\right) =\frac{\sqrt{2}}{2 x} \cdot\left (\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{4}\right) =\frac{\sqrt{2}}{504 x},$$ 因此 $n=504$．