每日一题[2149]不定方程

向量 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ 的模均为整数，且

$$\left(2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}\right)=52,\quad \left(2\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|\right)\left(\left|\overrightarrow{a}\right|+3\left|\overrightarrow{b}\right|\right)=150,$$ 则下列选项中正确的有（       ）

A．$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ 的最大值和最小值的比值是 $3$

B．$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ 可能大于 $0$

C．$\left|\overrightarrow a\right|^2+\left|\overrightarrow b\right|^2$ 的最大值和最小值的比值是 $2$

D．$\left|\left|\overrightarrow {a}\right|-2\left| \overrightarrow{b}\right|\right|=5$

答案    C．

解析    设 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 的模分别为 $x,y$，则

$$(2x+y)(x+3y)=2\cdot 3\cdot 5^2,$$ 于是 $(x,y)=(3,4),(7,1)$，进而 $$2x^2+3y^2+7\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=52,$$ 从而 $\left(x,y,\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right)=(3,4,-2),(7,1,-7)$，进而可得： $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ 的最大值和最小值的比值是 $\dfrac 27$； $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ 不可能大于 $0$； $\left|\overrightarrow a\right|^2+\left|\overrightarrow b\right|^2$ 的最大值和最小值的比值是 $2$； $\left|\left|\overrightarrow {a}\right|-2\left| \overrightarrow{b}\right|\right|=\sqrt{x^2+4y^2-4\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b}=9$．