已知数列 {an} 满足关系式 n(an+1−an+1)=an+1+an+1,Sn 表示数列的前 n 项和.下列说法正确的有( )
A.若 a2020 是整数,则 a3 一定是整数
B.若 a3 是整数,则 a2020 一定是整数
C.若 a2=2,则 Sn=n(n−1)(n+4)6(n∈N+)
D.若 ∀n⩾,都有 a_{n}>0,则 a_{2020} 的最小值为 2019
答案 BD.
解析 根据题意,有(n-1)a_{n+1}=(n+1)a_n+(1-n),也即\dfrac{a_{n+1}}{n+1}=\dfrac{a_n}{n-1}-\dfrac1{n+1},也即\dfrac{a_{n+1}}{n(n+1)}=\dfrac{a_n}{(n-1)n}-\dfrac{1}{n(n+1)},也即\dfrac{a_{n+1}}{n(n+1)}-\dfrac1{n+1}=\dfrac{a_n}{(n-1)n}-\dfrac 1n=\cdots=\dfrac{a_3-3}6=\dfrac{a_2-1}2,从而a_n=(n-1)+\dfrac{n(n-1)}6(a_3-3),进而a_{2020}=2019+1010\cdot 673(a_3-3),因此选项 \boxed{A} 错误,选项 \boxed{B} 正确. 若 a_2=2,则 a_1=1,从而当 n\geqslant 2 时,有a_n=(n-1)+\dfrac{n(n-1)}2,从而S_n=1+\sum_{k=1}^n\left((k-1)+\dfrac{k(k-1)}2\right)=1+\dfrac{n(n-1)}2+\dfrac{(n+1)n(n-1)}6=\dfrac{n(n-1)(n+4)}6+1,选项 \boxed{C} 错误. 由于当 n\geqslant 2021 时,有a_n=(n-1)+n(n-1)\cdot \dfrac{a_{2020}-2019}{2020\cdot 2019}=\dfrac{n(n-1)}{2020\cdot 2019}\left(a_{2020}-2019\left(1-\dfrac{2020}n\right)\right),因此若 \forall n \geqslant 2021,都有 a_{n}>0,则 a_{2020} 的最小值为 2019.