每日一题[2099]平方数的特征

设集合 $M=\{ t \mid t=m^2-n^2,~m,n\in\mathbb Z\}$．

1、证明：$M$ 中的任意两个元素的乘积也是 $M$ 的元素．

2、判断 $32,33,34$ 是否在集合 $M$ 中，并说明理由．

3、写出偶数 $2k$（$k\in\mathbb Z$）在集合 $M$ 中的一个充要条件，并给出证明．

解析

1、设 $t_1=m_1^2-n_1^2$，$t_2=m_2^2-n_2^2$，其中 $m_1,n_1,m_2,n_1\in\mathbb Z$，则

$$\begin{split} t_1t_2&=(m_1^2-n_1^2)\cdot (m_2^2-n_2^2)\\ &=(m_1m_2)^2-(n_1m_2)^2-(m_1n_2)^2+(n_1n_2)^2\\ &=(m_1m_2+n_1n_2)^2-(m_1n_2+n_1m_2)^2,\end{split}$$ 注意到 $m_1m_2+n_1n_2$ 和 $m_1n_2+n_1m_2$ 均为整数，因此 $t_1t_2\in M$，命题得证．

2、取 $m=n+1$，可得

$$m^2-n^2=(n+1)^2-n^2=2n+1,$$ 于是所有的奇数都在 $M$ 中； 取 $m=n+2$，可得 $$m^2-n^2=(n+2)^2-n^2=4n+4,$$ 于是所有 $4$ 的倍数都在 $M$ 中． 下面我们证明所有模 $4$ 余 $2$ 的数都不在集合 $M$ 中．注意到 $$m^2\equiv \begin{cases} 0,&m\text{ 为偶数},\\ 1,&m\text{ 为奇数},\end{cases}\pmod 4,$$ 于是 $m^2,n^2$ 模 $4$ 的余数为 $0$ 或 $1$，它们的差模 $4$ 的余数不可能为 $2$，因此所有模 $4$ 余 $2$ 的数都不在集合 $M$ 中． 综上所述，$32,33\in M$，$34\notin M$．

3、偶数 $2k$（$k\in\mathbb Z$）在集合 $M$ 中的充要条件为 $k$ 为偶数．证明见第 $(2)$ 小题的解析．